笔者非常赞同惠更斯对引力本质的判断，认为引力不是物体本身固有的，而是物体自转运动的结果，自旋的星球（如太阳或地球）是一个非线性有阻尼的自激振动系统，该系统中某单位质量的质点 的运动（见图 2。3中），为简单计，先讨论二维相平面上的非线性系统的周期振荡。质点的位移为 X，其速度和加速度分别为 ， ；若它受到一个线性恢复力 （ 为线性振荡圆频率）作用，同时，它也存在一个非线性阻尼力：

；其中是一个小的正参量，是常数，这样，表征质点的运动方程为：

（2.1）

式（2.1）为范 •德• 波耳(Van der pol)方程 ,简称为方程。方程是20世纪 20年代由范• 德•波耳在研究电子管振荡和模拟人的心脏搏动的基础上提出的。但它却代表着一种典型的非线性正弦形式的振荡。在 方程中增加外驱动力 项所得的方程为：

（2.2）

方程（2.2）称为强迫 方程。其中外驱动力的振幅、角频率分别为 和 。自激系统是一个非线性有阻尼的振动或转动系统，在运动过程中伴随有能量损耗。但系统存在一种机制，使能量能够由非振动的能源通过系统本身的反馈调节，及时适地得到补充，从而产生一个稳定的不衰减的周期运动，这样的振动（或转动）称为自激振动。

对方程，可从机械振动角度理解， 是阻尼系数，它是变化的。如果 ，则阻尼系数为正，系统将受阻尼，能量将逐渐减少；但如果 ，则发生负阻尼，意味着不仅不消耗系统的能量，反而给系统提供能量。此系统能通过自动的反馈调节，使得在一个振动（或转动）过程中，补充的能量正好等于消耗的能量，从而系统作稳定的周期振动（或转动）。

对 方程，也可从 方程在 时存在极限环解来理解。在非线性系统的周期振荡过程中 ,大多数实际的周期振荡都是极限环型的, 极限环是最典型的和最具有实际意义的非线性系统周期振荡。通过计算机数值求解可以证明自旋的非线性有阻尼的自激振动系统

图2.1 非线性系统的自激振荡极限环示意图

的相轨道都将趋向于一条闭合曲线 ,这条闭合曲线,就称为极限环,见图 2.1 非线性系统的自激振荡极限环示意图；极限环（红色）以外的相轨道向里盘旋,而极限环以内的相轨道则向外盘旋 ,都趋向极限环,说明不论初始情况如何,系统最终都达到以极限环描述的周期性运动。从图 2.1的整体来看，相轨道是从外向里盘旋，直到中心。

自旋的星球（如太阳或地球）就是这样一种非线性有阻尼的自激振动系统，若该自旋系统中有一质量为 的质点，（见图 2.3自旋系统的共旋示意图）当其绕转轴自旋时会产生一个向轴力。该力又作为强迫力作用于系统，该力的方向是不断变化的，其相位上呈周期性变化，因此该力可认为是以自转周期为周期的强迫力。系统在周期性外力的作用下所作的等幅振动（或转动）称为受迫振动。此时方程（ 2.2）中的指的是图2.3中的 ，为系统中任一质点离自转轴的距离。令： ，则方程（ 2.2）为：

（2.3）

式（2.3）第二项为阻力 ；第四项 为周期性外力，在其的作用下作受迫振动或转动（其中 是强迫力的幅值， 是强迫力的角频率），

令 ，将之代入上式，整理后得：

（2.4）

此式即为受迫振动的微分方程。其解

（2.5）

式（2.5）说明，受迫振动是阻尼振动和简谐振动两部分所合成。开始振动时，系统的运动情况很复杂，经过一段时间后，阻尼振动部分衰减到可以忽略不计时，振动便达到稳定状态（即只剩下（ 2.5）式的第二项）。此时受迫振动的振动方程为：

（2.6）

因而可视为简谐振动。其频率为周期性外力频率 ，其振幅 和初相 分别为

（2.7)

(2.8)

在受迫振动时，振幅的大小与周期性外力的角频率 、阻尼系数 及振动系统的固有频率 有关。图（ 2.2）是根据不同的值对应的不同曲线。如果强迫力的角频率已定,系统的 值较大者对应的 值较小。如果系统的阻尼已定 ,则当外力的角频率与系统的固有角频

图2.2 不同值的受迫振动

率相差很大（即: 、或 时），从图中可以看出，受迫振动的振幅较小；当外力的角频率 接近系统的固有角频率 时，受迫振动的振幅变大。当 =时，则达到共振态，振幅达到最大值，（ 2.5）和（2.6）式中的值为：

（2.9）

（2.10）

现对自旋的星球系统（如地球）作具体定量描述：图 2.3 中质点的质量为,对某惯性参考系坐标原点 O的位矢为，当其绕转轴自旋时会受到一个向轴（心）力作用，其值为：

（2.11）

此力的方向在不断变化，从相位上看是呈周期性变化的，因此此力是以自转周期为周期的强迫力。因而是受迫振动。此力作为自旋系统的周期性强迫力作用于系统的质点自身，该力的角频率也为 ，即 ，该驱动力之幅值 :，即：

，该周期性驱动力使系统质点自身共振，产生周相落后（）的共旋（振）力，也可称为膺力（复制力或称惯性力、物体的惯性可能由此产生，也是引力本质之所在），引力振幅为： ；即有：

； （ 2.12）

（2.13）

图2.3 自旋系统的共旋示意图

前已说明：方程（2.12）中的 指的是图 2.3中的，为系统某质点离自转轴的距离。说明阻尼系数： 是变化的，通过自激系统的自动反馈调节，使得系统作稳定的周期振动（或转动）。从图 2.2 非线性系统的自激振荡极限环示意图的整体来看，相轨道是从外向里盘旋，直到中心。该极限环是一个质点 （质量为 ）自转运动过程中在二维相平面上形成的极限环，若多个质点就有多个极限环，相轨道是从外向里盘旋，指向自转轴。无穷个质点组成的星球，就应有无穷多个极限环；故笔者理解为自旋星球的转动能量之所以能亿年不减，主要是通过自激系统的自动反馈调节才使得系统作稳定的周期振动（或转动），且向外发送引力波，引力波始发于自转轴轴心，引力能的机理就来源此。

同时，方程（2.12）也说明振幅 是表示质点径向位移量 ,是标量,是可积的.

整个系统的总向轴心力振幅为：

（2.14）

即:；

该式，说明了一个匀角速度自旋的系统，系统中每个质点均会产生向心力，该力作为受迫振动的强迫力使系统各质点共振，稳定的共振状态的自旋系统会从自转轴中心始发出频率与自旋频率相同，引力振幅为 的引力波。因为自旋星球的质量为： ；且引力波为球面简谐波。则球面引力波的波动方程为：

（2.15）

其中：为该处离自转轴中心 O的距离；为系统自转角速度；为引力波传播速度，即光速； 为时间； 为球面引力波的波动振幅， 意味着 处质点的位移量，即引力势能函数的自变量 代表点的位移，不难看出离轴心 远的椭球面是引力场的等势面。即：

（2.16）

因标量场的梯度▽ 是相应力场（引力场）的表现形式，▽ 的模与引力 的模相等，只不过方向相反。即：

(2.17)

从(2.17)式，笔者理解了牛顿为什么要追求数学美，牛顿运用微积分的方法严格证明了一条重要定理：密度均匀或各层密度均匀的球体对球外一点的吸引力，相当于这球体的各部质量集中在球心所产生的吸引力。牛顿感到完全有理由把太阳系的各个天体都可看成质点，这样便可将物理问题化为数学问题来处理。牛顿说过：在没有用数学证明这个定理之前，丝毫没有料到是这样美妙的结果——宇宙的全部机制就立刻展现在人们面前。现从 (2.17)式，也可这样认为：在没有用数学推导引力本质公式之前，丝毫没有料到是这样美妙的结果——宇宙中物体间的引力机制是这样生动的展现在人们面前。它从数学角度说明自转星球对周围的引力是一个与距离、自转角速度、光速等有关，即与时空有关的美妙波函数。

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